Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Lantai dan Fungsi Atap

Diketahui $f(x) = 3x + \lfloor x-0,\!5 \rfloor$ dan $g(x) = -3x + \lceil x + 0,\!3 \rceil.$
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa $$f(2) = 3(2) + \lfloor 2-0,\!5 \rfloor = 6 + 1 = 7,$$sedangkan $$g(2) = -3(2) + \lceil 2 + 0,\!3 \rceil = -6 + 3 = -3.$$Jadi, jelas bahwa $f(2) > g(2).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi A tidak tepat.
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa $$f(0) = 3(0) + \lfloor 0-0,\!5 \rfloor = 0 + (-1) = -1,$$sedangkan $$g(0) = -3(0) + \lceil 0 + 0,\!3 \rceil = 0 + 1 = 1.$$Jadi, jelas bahwa $f(0) \ne g(0).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi B tidak tepat.
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa $$f(-1) = 3(-1) + \lfloor -1-0,\!5 \rfloor = -3 + (-2) = -5,$$sedangkan $$g(-1) = -3(-1) + \lceil -1 + 0,\!3 \rceil = 3 + 0 = 3.$$Jadi, jelas bahwa $f(-1) < g(-1).$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi C tidak tepat.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa $$f(3) = 3(3) + \lfloor 3-0,\!5 \rfloor = 9 + 2 = 11,$$sedangkan $$g(3) = -3(3) + \lceil 3 + 0,\!3 \rceil = -9 + 4 = -5.$$Jadi, $f(3) + g(3) = 11+(-5)=6.$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi D tepat.
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa $$f(-1) = 3(-1) + \lfloor -1-0,\!5 \rfloor = -3 + (-2) = -5,$$sedangkan $$g(4) = -3(4) + \lceil 4 + 0,\!3 \rceil = -12 + 5 = -7.$$Jadi, $f(-1)-g(4) = -5-(-7)=2 > 0.$ Hal ini berarti pernyataan pada opsi E tidak tepat.
(Jawaban D)

Cek opsi A:
$$\left\{\dfrac85\right\} = \dfrac85-\left \lfloor \dfrac85 \right \rfloor = \dfrac85-1 = \dfrac35.$$Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek opsi B:
$$\left\{\dfrac17\right\} = \dfrac17-\left \lfloor \dfrac17 \right \rfloor = \dfrac17-0 = \dfrac17.$$Jadi, pernyataan pada opsi B benar.
Cek opsi C:
$$\left\{-\dfrac{11}{4}\right\} = -\dfrac{11}{4}-\left \lfloor -\dfrac{11}{4} \right \rfloor = -\dfrac{11}{4}+3 = \dfrac14.$$Jadi, pernyataan pada opsi C benar.
Cek opsi D:
$$\left\{7\right\} = 7-\left \lfloor 7 \right \rfloor = 7-7 = 0.$$Jadi, pernyataan pada opsi D benar.
Cek opsi E:
$$\left\{\dfrac{22}{7}\right\} = \dfrac{22}{7}-\left \lfloor \dfrac{22}{7} \right \rfloor = \dfrac{22}{7}-3 = \dfrac17.$$Jadi, pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban E)

Persamaan $\lfloor x \rfloor-3 = 0$ ekuivalen dengan $\lfloor x \rfloor = 3.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, diperoleh $3 \le x < 4.$ Jadi, penyelesaian dari $\lfloor x \rfloor-3 = 0$ adalah $\boxed{3 \le x < 4}.$
(Jawaban E)

Persamaan $3\lfloor x \rfloor+7 = -3$ ekuivalen dengan $\lfloor x \rfloor = -\dfrac{10}{3}.$ Karena $\lfloor x \rfloor$ merupakan bilangan bulat, persamaan $\lfloor x \rfloor = -\dfrac{10}{3}$ tidak mungkin terpenuhi. Akibatnya, $3\lfloor x \rfloor+7 = -3$ tidak memiliki penyelesaian.
(Jawaban E)

Diketahui $0 < 3 \lfloor 3x + 3 \rfloor < 7.$ Karena $ \lfloor 3x + 3 \rfloor$ merupakan bilangan bulat, nilai yang mungkin untuknya agar pertidaksamaan tersebut terpenuhi adalah $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 1$ atau $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 2.$
Kemungkinan 1:
Untuk $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 1,$ didapat $1 \le 3x + 3 < 2$ sehingga $-\dfrac23 \le x < -\dfrac13.$
Kemungkinan 2:
Untuk $ \lfloor 3x + 3 \rfloor = 2,$ didapat $2 \le 3x + 3 < 3$ sehingga $-\dfrac13 \le x < 0.$
Ini menunjukkan bahwa nilai $x$ yang memenuhi adalah $-\dfrac23 \le x < -\dfrac13$ atau $-\dfrac13 \le x < 0$ sehingga bisa digabungkan menjadi $-\dfrac23 \le x < 0.$
Jadi, dalam kasus ini, $-\dfrac23 \le a < 0.$ Karena $b = 0,$ jelas dapat disimpulkan bahwa $a < b$ untuk setiap nilai $a$ pada selang tersebut.
Dengan demikian, pernyataan yang pasti benar adalah $\boxed{a < b}.$
(Jawaban C)

Diketahui persamaan $\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5.$ Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x$ bulat.
Jika $x$ merupakan bilangan bulat, maka $\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = x$ sehingga diperoleh $x + x = 5$ yang mengimplikasikan $x = \dfrac52.$ Namun, hasil ini kontradiktif dengan fakta bahwa $x$ bulat. Jadi, kasus ini tidak memberikan solusi.
Kasus 2: $x$ takbulat.
Jika $x$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Sementara itu, $\lfloor x \rfloor = n$ dan $\lceil x \rceil = n+1.$ Jadi, didapat
$$\begin{aligned} n + (n+1) & = 5 \\ 2n & = 4 \\ n & = 2. \end{aligned}$$Karena $0 < r < 1,$ haruslah $2 < 2 + r < 3.$ Lebih lanjut, karena $x = n + r,$ diperoleh $2 < x < 3.$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5$ adalah $\boxed{2 < x < 3}.$
(Jawaban C)

Misalkan $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $r$ dengan $0 \le r < 1$ sehingga $\lfloor x \rfloor = n.$ Ini juga berarti $2x = 2n + 2r.$ Dengan demikian,
$$\lfloor 2x \rfloor = \begin{cases} 2n, & 0 \le r < 1/2 \\ 2n + 1, & \dfrac12 \le r < 1. \end{cases}$$Jika $0 \le r < \dfrac12,$ persamaan $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 7$ akan menjadi $2n + n = 7$ sehingga $n = \dfrac73,$ kontradiktif dengan fakta bahwa $n$ bulat. Sementara itu, jika $1/2 \le r < 1,$ persamaan $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 7$ akan menjadi $(2n+1) + n = 7$ sehingga $n = 2,$ sesuai dengan fakta bahwa $n$ bulat.
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $2+\dfrac12 \le x < 2 + 1$ yang berarti $2,\!5 \le x < 3.$
(Jawaban D)

Diketahui $\left\lfloor \dfrac{x}{y} \right\rfloor = 3$ dan $\left\lfloor \dfrac{x}{2y} \right\rfloor = 1.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, dua persamaan tersebut berturut-turut mengimplikasikan $3 \le \dfrac{x}{y} < 4$ dan $1 \le \dfrac{x}{2y} < 2.$ Bagi pertidaksamaan $3 \le \dfrac{x}{y} < 4$ dengan $4$ untuk memperoleh
$$\dfrac34 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$$Serupa dengan itu, bagi pertidaksamaan $1 \le \dfrac{x}{2y} < 2$ dengan $2$ untuk memperoleh
$$\dfrac12 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa selang nilai $\dfrac{x}{4y}$ adalah $\dfrac34 \le \dfrac{x}{4y} < 1.$ Akibatnya, nilai dari $\left\lfloor \dfrac{x}{4y} \right\rfloor$ sama dengan $\boxed{0}.$
(Jawaban A)

Misalkan $$x = \dfrac{2}{\dfrac{1}{1.001} + \dfrac{2}{1.002} + \dfrac{3}{1.003} + \cdots + \dfrac{10}{1.010}}.$$Dengan meninjau batas bawah dan batas atas $x$ saat nilai penyebutnya disamakan, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc} \dfrac{2}{\dfrac{1}{1.001} + \dfrac{2}{1.001} + \dfrac{3}{1.001} + \cdots + \dfrac{10}{1.001}} & < & x & < &\dfrac{2}{\dfrac{1}{1.010} + \dfrac{2}{1.010} + \dfrac{3}{1.010} + \cdots + \dfrac{10}{1.010}} \\ \dfrac{2}{55/1.001} & < & x & < & \dfrac{2}{55/1.010} \\ \dfrac{2.002}{55} & < & x & < & \dfrac{2.020}{55} \\ 36,\!4 & < & x & < & 36,\!7. \\ \end{array}$$Dengan demikian, nilai dari $\lceil x \rceil = 37.$
(Jawaban C)

Diketahui $$\left\lfloor \sqrt{\lfloor \sqrt{2.012} \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{\sqrt{2.012}} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor.$$Dari persamaan tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} \left \lfloor \sqrt{\lfloor 44,\!\cdots \rfloor } \right \rfloor & = \lfloor \sqrt{44,\!\cdots} \rfloor + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ \lfloor \sqrt{44} \rfloor & = \lfloor 6,\!\cdots \rfloor + \lfloor \dfrac{k}{2.012} \rfloor \\ \lfloor 6,\!\cdots \rfloor & = 6 + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ 6 & = 6 + \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor \\ \left \lfloor \dfrac{k}{2.012} \right \rfloor & = 0. \end{aligned}$$Persamaan terakhir mengimplikasikan bahwa $0 \le k < 2.012.$ Karena $k$ merupakan bilangan bulat, banyaknya nilai $k$ yang memenuhi syarat $0 \le k < 2.012$ adalah $2.012.$
(Jawaban C)

Dari definisi fungsi $g$ yang diberikan, diperoleh
$$\begin{aligned} g(100, 50) & = 1 + g(99, 50) \\ g(99, 50) & = 1 + g(98, 50) \\ g(98, 50) & = 1 + g(97, 50)  \\ \vdots~~~&~~~ \vdots \\ g(51, 50) & = 1 + g(50, 50) \end{aligned}$$sehingga $g(100, 50) = 50 + g(50, 50).$ Sementara itu, $g(50, 50) = f(50).$ Berikutnya, tinjau definisi fungsi $f.$ Dari definisi tersebut, diperoleh
$$\begin{aligned} f(50) & = 1 + 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{50}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(25) \\ f(25) & = 1 + f\left(\left\lfloor \dfrac{25}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(12) \\ f(12) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{12}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(6) \\ f(6) & = 1 + 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{6}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(3) \\ f(3) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{3}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(1) \\ f(1) & = 1+f\left(\left\lfloor \dfrac{1}{2} \right\rfloor \right) = 1 + f(0) \\ f(0) & = 0. \end{aligned}$$Ini berarti,
$$f(50) = 1 + 1 + 1+1+1+1+0 = 6.$$Jadi, nilai dari $\boxed{g(100, 50) = 50 + 6 = 56}.$
(Jawaban D)

Jawaban a)
$\lfloor 1,\!2 \rfloor = 1.$
Jawaban b)
$\lfloor -0,\!1 \rfloor = -1.$
Jawaban c)
$\lceil -\dfrac34 \rceil = 0.$
Jawaban d)
$\left \lfloor \dfrac12 + \left \lceil \dfrac12 \right \rceil \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac12 + 1 \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac32 \right \rfloor = 1.$
Jawaban e)
$\lceil 2 + \lceil -\dfrac12 \rceil \rceil = \lceil 2 + 0 \rceil = \lceil 2 \rceil = 2.$
Jawaban f)
$\left \lfloor \dfrac12 \cdot \left \lfloor \dfrac52 \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac12 \cdot 2 \right \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1.$

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x$ bulat.
Jika $x$ merupakan bilangan bulat, maka $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = x + (-x) = 0.$
Kasus 2: $x$ takbulat.
Jika $x$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Akibatnya, $-x = -n-r.$ Jadi, didapat
$$\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor & = \lfloor n+r \rfloor + \lfloor -n-r \rfloor \\ & = n + (-n-1) \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ adalah $\begin{cases} 0, & \text{jika}~x~\text{bulat} \\ -1, & \text{jika}~x~\text{takbulat}. \end{cases}$

Misalkan $x$ merupakan bilangan real. Misalkan juga $x$ bulat. Akibatnya, $-\lfloor -x \rfloor = -(-x) = x$ dan tentunya $x \ge x$ merupakan pernyataan yang benar. Berikutnya, misalkan $x$ takbulat. Artinya, $x = n+ r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Akibatnya,
$$\begin{aligned} -\lfloor -x \rfloor & = -\lfloor -n-r \rfloor \\ & = -(-n + \lfloor -r \rfloor) \\ & = n-\lfloor -r \rfloor \\ & = n-(-1) \\ & = n+1. \end{aligned}$$Jelas bahwa $-\lfloor -x \rfloor = n+1 \ge n+r = x$ dan tidak ada bilangan bulat lain di antara $n+1$ dan $n+r.$
Jadi, disimpulkan bahwa $-\lfloor -x \rfloor$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan $x$ untuk setiap bilangan real $x.$ $\blacksquare$

Ambil sembarang bilangan real $x$ dan $y.$ Berdasarkan definisi fungsi lantai, diketahui bahwa $\lfloor x \rfloor \le x$ dan $\lfloor y \rfloor \le y.$ Dengan menambahkan kedua pertidaksamaan ini sesuai ruasnya, diperoleh $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le x + y.$ Akibatnya, $\lfloor x+y \rfloor \ge \lfloor \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ karena $\lfloor x \rfloor$ dan $\lfloor y \rfloor$ bulat sehingga $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ juga bulat.

Misalkan $\lfloor x \rfloor = m$ untuk suatu bilangan bulat $m$ sehingga $m \le x < m+1.$ Dengan menambahkan $n$ pada ketiga ruas pertidaksamaan tersebut, didapat $$(m + n) \le (x + n) < (m+n) + 1.$$ Akibatnya, $\lfloor x+n \rfloor = m + n.$ Karena $\lfloor x \rfloor = m,$ haruslah $\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$
Jadi, terbukti bahwa $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.$ $\blacksquare$

Ambil sembarang bilangan real nonnegatif $x.$ Misalkan $x = n + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 \le r < 1.$ Misalkan juga $n = a^2 + b$ dengan $a$ merupakan bilangan bulat terbesar sehingga $a^2 \le n$ dan $b$ merupakan bilangan real. Dengan demikian,
$$a^2 \le n = a^2 + b \le x = a^2 + b + r < (a + 1)^2.$$Akibatnya, $x < (a + 1)^2$ akan mengimplikasikan $\sqrt{x} < a + 1$ dan akhirnya, $\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor = a.$ Selain itu, $\left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor = a.$ Jadi, terbukti bahwa $\left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor$ untuk setiap bilangan real nonnegatif $x.$ $\blacksquare$

Diketahui $\left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor = \dfrac{n}{6}.$ Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $\dfrac{n}{5}$ bulat.
Jika $\dfrac{n}{5}$ merupakan bilangan bulat, maka $\dfrac{n}{5} = \dfrac{n}{6}$ sehingga mengharuskan $5 = 6$ (kontradiktif).
Kasus 2: $\dfrac{n}{5}$ takbulat.
Jika $\dfrac{n}{5}$ merupakan bilangan takbulat, maka dapat ditulis $\dfrac{n}{5} = k + r$ untuk suatu bilangan bulat $n$ dan bilangan real $0 < r < 1.$ Dengan demikian, didapat
$$\begin{aligned} \left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor & = \dfrac{n}{6} \\ \left \lfloor \dfrac{n}{5} \right \rfloor & = \dfrac{n}{5} \cdot \dfrac56 \\ k & = (k+r) \cdot \dfrac56 \\ \dfrac16k & = \dfrac56r \\ \dfrac{k}{5} & = r. \end{aligned}$$Karena $0 < r< 1,$ persamaan terakhir di atas menunjukkan bahwa nilai bulat positif $k$ yang memenuhi adalah $1 \le k \le 4.$

1. Untuk $k = 1,$ diperoleh $r = \dfrac15$ sehingga $n = 6.$
2. Untuk $k = 2,$ diperoleh $r = \dfrac25$ sehingga $n = 12.$
3. Untuk $k = 3,$ diperoleh $r = \dfrac35$ sehingga $n = 18.$
4. Untuk $k = 4,$ diperoleh $r = \dfrac45$ sehingga $n = 24.$

Jadi, ada $4$ nilai bulat positif $n$ yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu $n = 6, 8, 12, 24.$

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif. Misalkan juga $x = a + r$ dan $y = b + s$ untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$ serta bilangan real $r$ dan $s$ dengan $0 \le r, s < 1.$ Ini menunjukkan $\lfloor x \rfloor = a$ dan $\lfloor y \rfloor = b.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \lfloor xy \rfloor & = \lfloor (a+r)(b+s) \rfloor \\ & = \lfloor ab + as + br + rs \rfloor \\ & = ab + \lfloor as + br + rs \rfloor. \end{aligned}$$Karena $\lfloor as + br + rs \rfloor$ tidak mungkin bernilai negatif dan $ \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor = ab,$ diperoleh $\lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$ Jadi, terbukti bahwa jika $x$ dan $y$ merupakan bilangan real positif, maka $\lfloor xy \rfloor \ge \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$

Misalkan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real negatif. Dengan menggunakan cara yang serupa, diperoleh fakta bahwa $\lfloor as + br + bs \rfloor$ tidak mungkin bernilai positif. Akibatnya, $\lfloor xy \rfloor \le \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor.$

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $x$ merupakan bilangan real positif, sedangkan $y$ negatif. Akibatnya, tanda pertidaksamaan tidak dapat ditetapkan. Sebagai contoh, pilih $x = 2$ dan $y = -5,\!5$ sehingga $\lfloor 2 \cdot (-5,\!5) \rfloor = \lfloor -11 \rfloor = -11$ dan $\lfloor 2 \rfloor \lfloor -5,\!5 \rfloor = 2(-6) = -12.$ Ini menunjukkan bahwa $\lfloor xy \rfloor > \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor$ untuk $x = 2$ dan $y = -5,\!5.$ Berikutnya, pilih $x = 5,\!5$ dan $y = -1$ sehingga $\lfloor 5,\!5 \cdot (-1) \rfloor = \lfloor -5,\!5 \rfloor = -6$ dan $\lfloor 5,\!5 \rfloor \lfloor -1 \rfloor = 5(-1) = -5.$ Ini menunjukkan bahwa $\lfloor xy \rfloor < \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor$ untuk $x = 5,\!5$ dan $y = -1.$ $\blacksquare$

Klaim bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}.$$Bukti diberikan sebagai berikut.
Observasi awal dapat dilakukan dengan menjabarkan notasi sigmanya, yaitu
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor & = \left \lfloor \sqrt{1} \right \rfloor + \left \lfloor \sqrt{2} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor \\ & = 1 + 1 + 1 + \underbrace{2 + 2 + \cdots + 2}_{\text{5 suku}} + \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{\text{8 suku}} + \cdots + \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor. \end{aligned}$$Observasi menghasilkan fakta berikut.

1. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 1.$ Ada sebanyak $n$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 1, 2, 3, \cdots, n.$
2. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 2.$ Ada sebanyak $n-3$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 4, 5, 6, \cdots, n.$
3. Jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge 3.$ Ada sebanyak $n-8$ nilai $k$ yang memenuhi, yaitu $k = 9, 10, 11, \cdots, n.$
4. Secara umum, untuk $m = 1, 2, 3, \cdots, \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor,$ jumlahan $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor$ berkontribusi $1$ untuk setiap nilai $k$ yang memenuhi $\sqrt{k} \ge m$ dan ada $n-(m^2-1)$ nilai $k$ yang memenuhi.

Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor & = \displaystyle \sum_{m=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} (n-(m^2-1)) \\ & = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\sum_{m=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor} m^2 \\ & = \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor= \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor(n+1)-\dfrac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\left(\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)\left(2\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1\right)}{6}.$$